El área de números y en específico los números naturales, se relaciona tradicionalmente a los primeros años escolares, sin embargo, es un tema que se aborda a lo largo de la primaria y secundaria. Tiene una relación directa con las otras áreas matemáticas (relaciones y álgebra, estadística y probabilidad, medidas y geometría), así como con otras asignaturas, por lo que su correcto tratamiento es vital para el aprendizaje matemático.
En el primer ciclo se trabaja el desarrollo del concepto de número, su uso en diferentes situaciones, la comprensión de los significados de las operaciones básicas, se desarrollan y utilizan estrategias para el cálculo y la estimación.
En el segundo ciclo, se amplía el dominio de acción (números naturales mayores que 100 000) y el uso de diferentes representaciones (simbólica, verbal, manipulativa y gráfica). En este ciclo se incorporan nuevos procedimientos operatorios y se robustece el sentido numérico. Debe seguir prevaleciendo el énfasis en cálculos, aunque con la introducción de propiedades y objetos abstractos. Desde cuarto año, se debe continuar con la generalización de los algoritmos para la suma, la resta, la multiplicación y la división de números naturales, trabajados en los años anteriores, así como la resolución de problemas mediante estas operaciones. Como se viene realizado desde el primer ciclo, la utilización de problemas se debe realizar de manera paralela al trabajo con algoritmos. En cuarto año se desarrolla la siguiente habilidad específica:
- Resolver y plantear problemas donde se requiera el uso de la suma, la resta, la multiplicación y la división de números naturales (MEP, 2012, p. 178).
Sobre la base de lo desarrollado en los niveles anteriores en quinto año ya se empieza a trabajar la combinación de operaciones con números naturales.
Sobre las habilidades específicas y conocimientos
Los conocimientos previos son fundamentales para poder trabajar algunas habilidades específicas de sétimo año en Números, por está razón, esta Unidad Virtual de Aprendizaje (UVA) sirve de enlace entre lo trabajado en Primaria y lo que se trabajará en la Educación Secundaria.
Con el problema "Pagos iguales", se retoma el uso de la combinación de operaciones con números naturales trabajado en quinto y sexto año que permite afianzar estos conocimientos previo al ingreso al tercer ciclo. El problema conecta con el área de medidas y brinda una conexión natural con un contexto real.
En el problema se desarrolla la siguiente habilidad específica de sexto grado:
- Resolver problemas donde se requiera el uso de la combinación de operaciones suma, resta, multiplicación y división de números naturales y con decimales (MEP, 2012, p. 191)
Uso en la mediación
El problema “Pagos iguales” debe ser utilizado en sexto año para abordar la II Etapa: Movilización de los aprendizajes. El conocimiento necesario para abordar la combinación de operaciones con números naturales se trabaja de manera gradual en los años anteriores. Las siguientes habilidades específicas se trabajaron en quinto año:
- Resolver problemas y operaciones donde se requiera el uso de la combinación de operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números naturales (MEP, 2012, p. 182).
- Resolver y plantear problemas donde se requiera el uso de la suma, resta, multiplicación y división de números naturales y decimales (MEP, 2012, p. 186).
- Utilizar la calculadora para resolver problemas que involucran operaciones con cálculos complejos (MEP, 2012, p. 182).
- Seleccionar métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos (MEP, 2012, p. 187).
Por consiguiente, los estudiantes en este nivel ya están familiarizados con las estrategias de cálculo. El propósito en sexto año es generalizar los conocimientos establecidos en quinto. No se pretende el trabajo con operaciones en forma aislada, la incorporación de problemas contextualizados se realiza de manera simultánea. En este contexto la integración de habilidades es una excelente herramienta para proponer problemas en diferentes niveles de complejidad.
La invención de problemas (como en el ítem 7 de la práctica), es una excelente estrategia para observar la comprensión sobre el tema de los estudiantes. Además, permite trabajar la creatividad, fortalecer actitudes positivas e identificar talento excepcional.
Se sugiere el trabajo en equipo, este brinda la oportunidad que los estudiantes interactúen entre sí y que compartan sus conocimientos. Además, propicia espacios de discusión, fortalece la autoestima y potencia actitudes positivas hacia la asignatura. Las personas en esta edad tienen gusto por el juego, lo que aumenta su motivación, que no es realmente a la actividad educativa, sin embargo, es posible aprovechar esa motivación, ya que acrecienta la predisposición para aprender de los estudiantes. La utilización de competencias tipo “rally”, acumulando puntos, escalando niveles, cumpliendo misiones o retos, son algunas de las estrategias que es posible explorar. Los juegos de mesa como bingos, dominó, cartas y memoria, son también una excelente opción.
Sobre el problema y elementos relevantes del tema
El concepto de número natural se aborda inicialmente a partir de la noción de cardinal. Una vez trabajado el concepto de número se pasa a las operaciones, donde se hace énfasis al aprendizaje de los procesos para calcular los resultados. Los algoritmos de las operaciones básicas (suma, resta multiplicación y división) constituyen una parte vital del área de números en la Educación Primaria. El aprendizaje de la secuencia de pasos que conforman un procedimiento, la consecución de automatismos (aplicación correcta de reglas de manera automática) provoca que se privilegie la realización de algoritmos frente a la comprensión del sentido de las operaciones mismas. El docente debe tener claro que los Programas de Estudios de Matemáticas buscan no sólo una orientación algorítmica, sino que se involucre como aspecto primordial las situaciones problema en las que intervienen los números naturales, y a través de estas conceptualizar las relaciones, las operaciones y las propiedades que los caracterizan como sistema numérico.
El trabajo en sexto grado con operaciones combinadas con números naturales, debe proponer tareas de un mayor nivel de complejidad, permitiendo establecer conexiones con otras áreas matemáticas y disciplinas. El problema "Pagos iguales", es un ejemplo del tipo de tareas al que debe ser expuesto un estudiante de sexto año. El uso del problema planteado en esta UVA, permite relacionar las matemáticas con el entorno y utilizar los números como referencia de situaciones cotidianas donde es posible usar las operaciones aritméticas.
Sobre el uso de la calculadora
El programa de estudios propone el uso de la calculadora como un apoyo al trabajo con operaciones con números naturales. La siguiente habilidad se encuentra en el nivel de sexto año:
- Utilizar la calculadora para resolver problemas y ejercicios numéricos con cálculos complejos (MEP, 2012, p. 192).
La utilización de la calculadora en el segundo ciclo se dirige a la simplificación de cálculos complejos, en problemas donde lo relevante es el planteo de los datos, la estrategia empleada y la argumentación de ideas. También la calculadora puede ser utilizada en la verificación de resultados finales en las operaciones para identificar posibles errores en las estrategias utilizadas. El docente debe tener claro que la calculadora no sustituye la utilización de otras estrategias ( papel y lápiz o cálculo mental), más bien la enriquece. El uso de la calculadora no se debe restringir a la obtención de un resultado, el docente puede proponer situaciones donde la calculadora sea una herramienta para explorar propiedades, para encontrar una regularidad, para validar un procedimiento.
El problema Pagos iguales puede ser adaptado para que permita la utilización eficaz de la calculadora. Una posible modificación es la siguiente:
Andrés, Ricardo y Carlos alquilan juntos un apartamento y se dividen en partes iguales todos los gastos mensuales. Para esto cada uno tiene que realiza los diferentes pagos y a fin de mes se reúnen para ver cuánto ha pagado cada quien y realizar las cuentas respectivas para que el pago sea equitativo. En el mes de agosto estas fueron las cuentas (en colones):
Según los gastos de cada uno de los amigos en el mes de agosto, puede usted establecer una estrategia para que cada uno desembolse la misma cantidad de dinero.
Note que los cálculos son más complejos al tener que realizar conversiones de dinero y aplicar porcentajes. Lo que interesa no son los cálculos en sí mismos, sino las relaciones que deben interpretarse para diseñar una estrategia de solución. Dicha estrategia dependerá de la compresión de las relaciones numéricas presentes en el problema.
El cálculo mental y la estimación
Los procedimientos con lápiz y papel utilizan algoritmos o técnicas que son independientes de los números que se tengan en juego en un contexto o situación dada, se parte de la aplicación de determinado número de pasos que garantizan alcanzar el resultado correcto. Por su parte, el cálculo mental, corresponde a una serie de estrategias que se articulan sin recurrir a un algoritmo establecido, de acuerdo a las particularidades de los números involucrados y el manejo que se tenga de las propiedades numéricas. El cálculo mental permite una profundización de las propiedades de las operaciones en relación con las características del sistema de numeración posicional y decimal.
La estimación corresponde a un cálculo mental en que los datos se sustituyen por otros que los aproximan y con los que es más sencillo trabajar. En los Programas de Estudios de Matemáticas se propone la importancia de incluir problemas donde la búsqueda de un resultado aproximado sea suficiente. La estimación es una valiosa herramienta de anticipación y control en problemas que requieren encontrar una respuesta exacta.
El cálculo mental y la estimación se proponen en los Programas de Estudios de Matemáticas desde el I ciclo de la Educación Primaria, para sexto año el estudiante debe estar en capacidad de seleccionar los métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos numéricos. Además de evaluar la pertinencia de los resultados que se obtienen al realizar un cálculo o una estimación. También debe estar en capacidad de argumentar sus respuestas.
El docente debe estar en capacidad de realizar los ajustes necesarios para adaptar un problema a la estrategia de solución que desea potenciar.
Nivel de complejidad y procesos matemáticos
De acuerdo con la solución presentada al problema “Pagos iguales”, este tiene un nivel de complejidad de Conexión. A continuación, se describe la intervención de los procesos matemáticos:
Razonar y Argumentar:
En primera instancia se debe determinar la cantidad total de dinero que corresponde a los gastos mensuales durante el mes de agosto. Luego se debe calcular cuánto dinero debe aportar cada uno y por último establecer un mecanismo, para garantizar que cada compañero desembolse la misma cantidad de dinero. Al realizar estas acciones se debe responder a preguntas donde la respuesta no es directa y se requiere elaborar una estrategia de solución que no es sencilla. El proceso está presente en un nivel intermedio.
Plantear y resolver problemas:
El problema presenta un contexto que no es familiar para el estudiante, el hecho de que ya todos han pagado algunos rubros y se debe establecer un mecanismo para lograr equiparar los pagos que ya se han realizado es una situación novedosa. Para identificar la secuencia de pasos que permite hallar la solución se requiere profundizar en las relaciones numéricas presentes, de ahí que la intervención del proceso se presente en un nivel intermedio.
Conectar:
El proceso está presente en un nivel intermedio. Se conectan conocimientos diferentes de la misma área (algoritmos de las diferentes operaciones básicas y la jerarquía de las operaciones). También existe relación directa con el área de medidas que es transversal en el problema.
Comunicar:
Se debe interpretar y seguir una serie de razonamientos matemáticos que usan procedimientos conocidos, al establecer un mecanismo para lograr equiparar los pagos que ya se han realizado. Además, se debe comunicar la estrategia utilizada que explique qué pasos se siguieron al encontrar la solución. El proceso se presenta en un nivel intermedio.
Representar:
La solución del problema requiere el uso de dos representaciones. Se debe pasar de una representación verbal a una numérica, para modelar el contexto real que involucra el problema, de ahí que la intervención del proceso es intermedia.
Por tanto, los procesos Razonar y argumentar, Plantear y resolver problemas, Conectar, Comunicar y Representar alcanzaron una intervención intermedia. El nivel de complejidad del problema es de Conexión, debido a las exigencias cognitivas que implica para el estudiante y que fueron detalladas previamente.
Se puede profundizar en la estrategia para determinar los niveles de complejidad en Ruiz (2018). Además, puede acceder a los videos de la colección Valoración de Tareas Matemáticas para ampliar los contenidos.